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Lundi 9 Juin 2025 - News # 95625 Lien  Recopié ! 

Mathématiques : "ILS ONT ÉCHOUÉ PENDANT 2000 ANS À RÉSOUDRE CE CASSE-TÊTE !" - Par Mathador  :

SYNOPSIS :

Un jour, un énergumène a décidé de prouver l'intégralité de tous les résultats mathématiques en repartant de zéro. Il s'appelait Euclide, et comme point de départ, il a choisi 5 postulats. 5 assertions évidentes, qui lui serviraient de base pour démontrer tout le reste. Evidemment, inutile de redémontrer ces 5 postulats de départ... sauf que lorsque les matheux s'y sont essayé, ils sont arrivés à des résultats... pour le moins surprenants.... Voici l'histoire du 5ème postulat d'Euclide.


► ERRATUM

• A 16:16 je parle de "La science de l'hypothèse" mais le vrai titre, c'est "La science ET l'hypothèse". Désolé, ma mémoire m'a fait défaut.
• La présentation des preuves par l'absurde est trompeuse. Pour démontrer qu'une chose est fausse, il suffit de démontrer qu'elle implique une autre chose fausse/absurde. Il n'y a absolument pas besoin de s'assurer que l'implication est réversible (même si, bien sûr, une fois la preuve achevée elle le sera)
De plus, ce qui fonde la réduction à l'absurde n'est pas le principe de non-contradiction (càd "non A et A est une proposition fausse"). C'est en fait le tiers-exclus (càd "non A ou A est vraie") qui légitime la réduction à l'absurde.


►TIME CODE :

0:00 • Introduction
1:52 • Euclide
2:23 • Les postulats
4:40 • Tentatives de preuves
6:33 • Le raisonnement par l'absurde
8:18 • Les géométries non Euclidienne
14:08 • Le coup fatal
14:35 • Epilogue
► La chaîne Mathador est membre du café des sciences : https://www.cafe-sciences.org/ ()

Très bonne vidéo, bien didactique et divertissante.

Mais on reste sur sa faim : on ne sait pas si c'est un postulat ou un théorème finalement. J'ai donc posé la question à Grok :

Sait-on si le 5ème postulat d'Euclide est un théorème ou un postulat ?

Le 5ème postulat d'Euclide, dit postulat des parallèles, n'est pas un théorème, mais bien un postulat. Un postulat est une assertion acceptée sans démonstration, servant de base à une théorie. Ce postulat stipule que, par un point extérieur à une droite, il passe une unique droite parallèle à cette dernière. Pendant des siècles, les mathématiciens ont tenté de démontrer ce postulat à partir des quatre premiers, pensant qu'il pourrait être un théorème. Cependant, les travaux de Gauss, Bolyai et Lobachevski au XIXe siècle ont montré qu'il est indépendant : en le modifiant ou en le supprimant, on obtient des géométries non euclidiennes cohérentes (hyperbolique ou elliptique). Cela confirme son statut de postulat, car il ne peut être déduit des autres axioms d'Euclide. En résumé, le 5ème postulat est un postulat, non un théorème, car il est indémontrable dans le cadre de la géométrie euclidienne.

En complément sur Mathador : Voyez ces [News] (). Voyez ces [vidéos] ().

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